Vida & Obra de Karl Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass nasceu a 31 de outubro de 1815 na Alemanha.

Em 1829 Karl ingressou no Catholic Gymnasium e alcançou um nível de competência matemática muito além do que seria esperado. Weierstrass lia regularmente o Crelle Journal e ensinava matemática a um dos seus irmãos. O pai de Weierstrass desejava que ele estudasse finanças e, assim, após se formar em 1834, Karl entrou na Universidade de Bonn com um curso que incluía o estudo de direito, finanças e economia. O pai queria que o filho assumisse um cargo no serviço público prussiano, mas Weierstrass sofria com o conflito de obedecer aos desejos do pai ou estudar o que gostava – matemática.

Durante quatro anos Weierstrass não compareceu às aulas do curso nem às aulas de matemática e viveu uma vida boémia (praticava esgrima e bebia cerveja em demasia). 

Biermann refere que: 

“... the conflict between duty and inclination led to physical and mental strain. He tried, in vain, to overcome his problems by participating in carefree student life ...”

No entanto, Weierstrass estudou matemática por conta própria, lendo Mécanique céleste de Laplace e um trabalho de Jacobi sobre funções elípticas. Weierstrass aprendeu os métodos necessários na teoria da função elíptica, estudando transcrições de palestras de Cristof Gudermann. Numa carta a Lie escrita quase 50 anos depois, ele explicou como decidiu definitivamente estudar matemática, apesar dos desejos do pai:

“... when I became aware of [a letter from Abel to Legendre] in Crelle's Journal during my student years, [it] was of the utmost importance. The immediate derivation of the form of the representation of the function given by Abel ..., from the differential equation defining this function, was the first mathematical task I set myself; and its fortunate solution made me determined to devote myself wholly to mathematics; I made this decision in my seventh semester ...”

Acabou por desistir do curso de finanças e no dia 22 de maio de 1839, Weierstrass matriculou-se na Academia de Münster (onde Gudermann lecionava) para se tornar professor do ensino secundário. 

Weierstrass assistiu às aulas de Cristof Gudermann sobre funções elípticas, algumas das primeiras palestras sobre este tópico a serem dadas, e Gudermann incentivou fortemente Weierstrass nos seus estudos matemáticos. 

Em 1841 Weierstrass obteve o seu diploma de professor e começou uma carreira de 14 anos como professor de matemática no Pró-Gymnasium em Deutsche Krone (1842-1848) e no Collegium Hoseanum em Braunsberg (1848-56). Era professor de matemática, mas também foi solicitado para ensinar outros tópicos – física, botânica, geografia, história, alemão, caligrafia e até ginástica. Mais tarde na vida, Weierstrass descreveu a "tristeza e tédio intermináveis" desses anos, Biermann refere sobre esse tempo: 

“... he had neither a colleague for mathematical discussions nor access to a mathematical library, and that the exchange of scientific letters was a luxury that he could not afford.”

Durante esse tempo de isolamento de outros matemáticos Weierstrass trabalhou incessantemente em Análise.

Por volta de 1850 Weierstrass começou a sofrer de tonturas muito fortes. Estes ataques frequentes dificultaram o seu trabalho e pensa-se que estes problemas podem ter sido causados pelos conflitos mentais que sofreu enquanto estudante, juntamente com o stress de aplicar-se à matemática em cada minuto livre do seu tempo e realizar o exigente trabalho de ensino.

O trabalho de Weierstrass em teoria das funções foi impulsionado pelo desejo de completar o trabalho iniciado por Niels Abel e Carl Jacobi. 

Em 1854 Weierstrass saiu da obscuridade quando publicou o artigo Zur Theorie der Abelschen Functionen sobre funções abelianas, no Crelle Journal. 

A Universidade de Königsberg conferiu-lhe o título de doutor honorário a 31 de março de 1854. 

Quando Weierstrass participou de uma conferência em Viena em setembro de 1856, foi-lhe oferecido um lugar em qualquer universidade austríaca à sua escolha. Antes que ele decidisse, a Universidade de Berlim adiantou-se. Como era este o emprego que ele desejava há muito tempo, aceitou rapidamente. No entanto, só conseguiu ocupar formalmente o lugar na Universidade de Berlim, passados alguns anos.

As aulas de Weierstrass atraíram alunos de todo o mundo. Um grande número de alunos beneficiou do ensino de Weierstrass. A abordagem de Weierstrass ainda domina o ensino de hoje da Análise Matemática. 

Os tópicos das suas aulas incluíam: a aplicação das séries de Fourier e de integrais à física matemática (1856/57), uma introdução à teoria das funções analíticas (onde expôs os resultados obtidos em 1841, mas nunca publicados), a teoria de funções elípticas (o seu principal tópico de investigação), e aplicações a problemas em geometria e mecânica. Nas suas aulas de 1859/60, Weierstrass deu Introdução à Análise, onde abordou os fundamentos do assunto pela primeira vez. Em 1860/61 lecionou Cálculo Integral.

Em dezembro de 1861, a sua saúde sofreu um agravamento. Weierstrass esteve cerca de um ano para voltar a dar aulas. Nunca mais recuperou a sua saúde completamente. A partir dessa época, lecionou sentado enquanto um aluno escrevia no quadro o que ele dizia. 

No ano letivo de 1863/64 começou a formular a sua teoria dos números reais. Nas suas palestras de 1863, provou que os números complexos são a única extensão algébrica comutativa dos números reais. Gauss tinha prometido uma prova em 1831, mas não a conseguiu demonstrar.

Em 1872, a sua ênfase no rigor levou-o a descobrir uma função que, embora contínua, não tinha derivada em nenhum ponto. Riemann tinha sugerido em 1861 que tal função poderia ser encontrada, mas o seu exemplo falhou por não ser diferenciável em todos os pontos.

Weiertrass em conjunto com os colegas, Kummer e Kronecker, deram a Berlim a reputação de universidade líder para estudar matemática.

Weierstrass influenciou positivamente muitos dos seus alunos, muitos dos quais se tornaram matemáticos criativos, citamos alguns: Bachmann, Bolza, Cantor, Engel, Frobenius, Gegenbauer, Hensel, Hölder, Hurwitz, Killing, Klein, Kneser, Königsberger, Lerch, Lie, Lüroth, Mertens, Minkowski, Mittag- Leffler, Netto, Schottky, Schwarz e Stolz. Uma aluna em particular, no entanto, merece menção especial: em 1870 Sofia Kovalevskaya veio para Berlim e Weierstrass ensinou-a em privado, uma vez que não lhe foi permitida a admissão na universidade. 

Os padrões de rigor que Weierstrass estabeleceu, definindo por exemplo números irracionais como limites de séries convergentes, afetaram fortemente o futuro da matemática. 

Em Biography in Encyclopaedia Britannica é referido que: 

“Known as the father of modern analysis, Weierstrass devised tests for the convergence of series and contributed to the theory of periodic functions, functions of real variables, elliptic functions, Abelian functions, converging infinite products, and the calculus of variations. He also advanced the theory of bilinear and quadratic forms.”

Segundo Biermann, Weierstrass publicou pouco porque o seu sentido crítico obrigava-o a basear qualquer análise numa base sólida e, por isso, começava uma nova abordagem e continuamente revia-a e expandia-a.

No entanto, supervisionou a publicação de uma grande quantidade de material não publicado das suas palestras. Os dois primeiros volumes apareceram em 1894 e 1895, sendo os únicos a aparecer antes da sua morte em 1897. 

Os volumes restantes dos seus Gesammelte Abhandlungen (Obras completas) apareceram lentamente: o volume 3 em 1903, o volume 4 em 1902, os volumes 5 e 6 em 1915 e o volume 7 em 1927. Os sete volumes foram reimpressos em 1967.

Mais trabalhos continuam a ser publicados hoje, particularmente versões das suas aulas retiradas das notas feitas por quem assistiu às palestras.

Todos os grandes matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento do Cálculo tinham um conceito intuitivo de limite, mas foi somente com o trabalho do matemático alemão Karl Weierstrass que uma definição formal, completamente satisfatória, do limite de uma sucessão foi obtida. Entre tantas e importantes contribuições na matemática destacamos a definição delta-epsilon de limite e o seu teorema: “Teorema de Weierstrass” que são continuamente e amplamente usadas.

Weierstrass foi membro estrangeiro da Royal Society. 

Durante os seus últimos três anos ficou confinado a uma cadeira de rodas, imóvel e dependente. Weierstrass morreu a 19 de fevereiro de 1897 de pneumonia.

Fonte: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Weierstrass/

Por Adília Marinho