Teoria de Jogos por Alda Carvalho - Onde é mais importante jogar no PRODUTO?
Eixos de Opinião de Fevereiro de 2021
Alda Carvalho - Docente do Ensino Superior e Investigadora do CEMAPRE/ISEG. (Ver +)
Título: Onde é mais importante jogar no PRODUTO?
Desde a 9.ª edição do CNJM (2013) que milhares de alunos jogam o PRODUTO (versão 5x5). Trata-se de um jogo inventado em 2006 por Nick Bentley, com adaptações de Bill Taylor e João Pedro Neto (uma das pessoas envolvidas na organização do CNJM). O PRODUTO entrou para substituir o OURI e, inicialmente, não teve muita adesão. Com o passar dos anos, muitos alunos e professores começaram a envolver-se e, actualmente, é um grande sucesso. Neste texto, para além das regras, exemplificaremos como conceitos elementares relacionados com a multiplicação podem ajudar a jogar melhor este jogo.
Trata-se de um tabuleiro hexagonal com células hexagonais (5 de lado), como se mostra na figura seguinte. Para além disso, são necessárias peças de duas cores (
50 de cada).
O tabuleiro começa vazio e, antes de começar, define-se a cor de cada jogador (por exemplo, azul e vermelho). Esta questão é importante pois, ao contrário da maioria dos jogos, em qualquer jogada é possível escolher a cor das peças jogadas. Trata-se de uma característica fora do comum, trazendo uma dinâmica a este tipo de jogos. Começa o jogador das peças azuis que, na primeira jogada, coloca só uma peça no tabuleiro (pode ser uma peça azul ou vermelha). No resto do jogo, alternadamente, cada jogador coloca sempre duas peças no tabuleiro (duas azuis, duas vermelhas ou uma de cada).
O tabuleiro vai sendo preenchido e vão-se formando grupos de peças conexas da mesma cor. Ganha o jogo quem conseguir fazer o maior produto com os dois maiores grupos de peças da sua cor. Uma vez que o tabuleiro tem 61 casas, fica completamente preenchido na 16.ª jogada do primeiro jogador. Se não acontecer antes por abandono de um dos jogadores, a posição final determina o vencedor do jogo. Vejamos três exemplos na figura seguinte.
Posição 1 Posição 2 Posição 3
Na primeira posição, existem três grupos azuis (11, 10 e 3 peças) e existem dois grupos vermelhos (34 e 3 peças). Sendo assim, trata-se de uma vitória do primeiro jogador pois 11x10=110>102=34x3.
Na segunda posição, existem quatro grupos azuis (10, 8, 3 e 2 peças) e existe um grupo vermelho (38 peças). Sendo assim, trata-se de uma vitória do primeiro jogador pois 10x8=80>0=38x0. Provavelmente, esta posição final resulta de um jogo onde a estratégia azul foi claramente impedir a formação do segundo grupo vermelho.
Na terceira posição, existem sete grupos azuis (9, 4, 3, 3, 2, 2 e 1 peça) e existem dois grupos vermelhos (36 e 1 peça). Neste exemplo, o produto é igual, 9x4=36=36x1, sendo necessário uma regra extra para decidir estes casos. Ganha o jogador que tiver menos peças da sua cor na posição final, o que está garantido pois o tabuleiro tem um número ímpar de casas. Sendo assim, como existem 24 peças azuis e 37 peças vermelhas, é novamente vitória do primeiro jogador.
Sendo a multiplicação uma operação que usamos com muita frequência, importa explorar não só os sentidos desta operação, mas também as suas propriedades. Fortemente inspirado no conhecido Singapore Math, neste link, é possível ver uma implementação através de imagens, que espelha o trabalho desenvolvido com alunos do 2.º ano de escolaridade, no âmbito do Programa «ProSucesso–Açores pela Educação».
Na próxima figura (retirada de um manual de Singapura), é possível ver dois exemplos de aplicação do sentido aditivo da multiplicação. Em (a), a expressão 4x6 representa quatro repetições de seis patas, ou seja, 4x6=6+6+6+6=24. Já em (b), a expressão 6x4 representa seis repetições de quatro patas, isto é, 6x4=4+4+4+4+4+4=24.
O produto 4x6 é igual ao produto 6x4, a multiplicação goza da propriedade comutativa. No entanto, as situações concrectas em que se usam estas operações podem ser diferentes. Tal facto acontece devido aos papéis do multiplicador e do multiplicando. O sentido aditivo da multiplicação aplica-se em situações concrectas quando temos um certo número de grupos iguais, ou seja, de grupos com o mesmo número de elementos. O multiplicador (factor da esquerda) indica o número de grupos e o multiplicando (factor da direita) indica o número de elementos de cada grupo. Uma discussão mais detalhada sobre o algoritmo da multiplicação no primeiro ciclo pode ser vista neste link.
Desde muito cedo, se a multiplicação for introduzida de forma faseada e contextualizada, o ganho conceptual é bastante significativo. Não substituindo a sala de aula, os jogos matemáticos são formas lúdicas que se podem usar como complemento a alguns tópicos. No caso da multiplicação, o PRODUTO é um excelente jogo para esse efeito.
Voltando ao jogo, consideremos a seguinte posição, onde são as vermelhas a jogar (essa informação pode descobrir-se vendo que faltam 4 peças no tabuleiro).
Neste momento, as vermelhas têm 2 grupos (32 e 3 peças) e as azuis têm 3 grupos (10, 9 e 3 peças). Será que as vermelhas conseguem ganhar o jogo? Existindo a opção de jogar nos dois grupos vermelhos, onde será mais vantajoso?
A chave é a ideia de escolher bem o multiplicando. Do ponto de vista das vermelhas, é muito mais vantajoso repetir o grupo com 33 peças. Logo, nesta jogada, deve ser jogada uma peça vermelha no grupo com 3, aumentando o grupo menor de 3 para 4 (garantindo, pelo menos, mais 33 pontos). Com isto, as vermelhas asseguram a vitória. Em suma, no PRODUTO, quanto mais equilibrados foram os dois grupos, melhor será o produto.
Terminamos com 3 desafios. Para soluções, podem enviar um mail para alda.carvalho@isel.pt.
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