Teoria de Jogos por Alda Carvalho - Richard Guy e os Jogos Octais
Eixos de Opinião de Abril de 2020
Alda Carvalho - Docente do Ensino Superior e Investigadora do CEMAPRE/ISEG
Título: Richard Guy e os Jogos Octais
Em Março deste ano deixou-nos Richard Guy (1916-2020), um dos três fundadores da Teoria de Jogos Combinatórios. Entre importantes contribuições em Teoria de Números, Combinatória, Geometria ou Teoria de Grafos, destaca-se o seu contributo na Matemática Recreativa e na Teoria de Jogos Combinatórios. Juntamente com John Conway e Elwyn Berlekamp, em 1982 foi autor da grande referência nesta área, Winning Ways for Your Mathematical Plays. Na foto podemos ver Richard Guy com a sua mulher, Louise Guy, na sua participação no Recreational Mathematics Colloquia I, em Évora, em 2009.
Enquanto co-organizadora deste evento, foi um privilégio ter Richard Guy a abrir esta série de colóquios.
Luca Pacioli (1445-1517) foi um matemático renascentista com importantes contributos, nomeadamente o tratado de matemática e magia De viribus quantitatis. Nesse tratado, Pacioli propõe um jogo em que os jogadores, à vez, adicionam um número inteiro positivo menor do que 7 a uma pilha, com o objectivo final de conseguir completar uma pilha de 30. Neste tipo de jogos, ao contrário de jogos como o XADREZ, ambos os jogadores têm ao seu dispor exactamente as mesmas opções em todas as situações (jogos imparciais). Pacioli mostra como ganhar este jogo em concreto: o primeiro jogador ganha deixando ao adversário os números 2, 9, 16 e 23. Esta é a primeira referência documentada conhecida sobre um jogo combinatório. Modernamente, foi proposta uma classe de jogos, os chamados jogos subtractivos.
Talvez o jogo combinatório mais famoso seja o NIM. Cada posição contém algumas pilhas de pedras. Na sua vez, cada jogador pode retirar o número de pedras que quiser de uma das pilhas, tendo de retirar sempre pelo menos uma pedra. Na versão normal, quem tirar a última pedra ganha; na versão misère quem tirar a última pedra perde. Este jogo combinatório foi o primeiro a ser totalmente resolvido com uma abordagem matemática (Bouton, 1902).
No NIM, cada jogador pode retirar o número de pedras que quiser de uma das pilhas. Alterando ligeiramente as regras, pode definir-se SUBTRACÇÃO(s1,…,sk): o jogo tem as mesmas regras que o NIM, mas os jogadores só podem retirar um número de pedras de uma pilha se esse número for um elemento de {s1,…,sk}. O jogo proposto por Pacioli é um jogo aditivo. Jogar o SUBTRACÇÃO(1,2,3,4,5,6) a partir de uma pilha com 30 pedras, com o objectivo de retirar todas as pedras, é análogo a começar sem pedras e somar números do conjunto {1,2,3,4,5,6}, tentando obter 30 pedras.
Há muitas formas de generalizar o jogo do NIM. Por exemplo, podemos impor como regra que, ao remover k pedras de uma pilha, podemos separar o que resta dessa pilha em 0, 1 ou 2 pilhas. Esta classe de jogos combinatórios é a designada por jogos octais. O KAYLES (derivado da palavra francesa «quills» associada ao bowling) é um antigo jogo em que os jogadores atiravam paus contra uma fila de pinos. Este jogo pode ser visto como um jogo de pilhas em que os jogadores podem tirar 1 ou 2 pedras de uma pilha separando-a em 0, 1 ou 2 pilhas. As primeiras referências a este jogo remontam aos clássicos Cyclopedia of 5000 Puzzles de Loyd em 1914 e The Canterbury Puzzles de Dudeney em 1907. Não se sabe bem se a origem vem de Dudeney ou de Loyd (que o publicou com a denominação de Rip Van Winkle's Game) mas o KAYLES é mais um antigo exemplo de um jogo combinatório na literatura (um jogo octal).
Trabalhando de forma independente, Roland P. Sprague, em 1935, e Patrick M. Grundy, em 1939, provaram o importante teorema que estabelece que qualquer jogo combinatório imparcial jogado na versão normal é equivalente a uma pilha NIM. Richard Guy trabalhou com Cedric Smith, que, por sua vez, trabalhou com Grundy. Isto motivou a análise de Richard Guy do XADREZ-DAWSON e de centenas de outros jogos susceptíveis de ser analisados à luz desta teoria. Para os leitores mais interessados, deixo as imagens do Winning Ways for Your Mathematical Plays, onde se pode ver um desenho original de Richard Guy, ilustrando a forma engenhosa como os valores do jogo são calculados.
