(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Onde estão os números racionais? E os irracionais?
Eixos de Opinião de junho de 2018
Título: Onde estão os números racionais? E os irracionais?
Uma maneira de visualizar os números consiste em vê-los como estando situados numa recta: a recta numérica. Usualmente, essa recta é colocada na horizontal, com o 0 a meio. Depois, os números crescem da esquerda para a direita: a seguir ao 0, vem o 1, depois vem o 2 e por aí adiante. Para a esquerda temos o –1, depois o –2, etc.
Até aqui, só mencionei números inteiros. E os outros? As metades dos números inteiros colocam-se a meio caminho entre dois inteiros: o 1/2 entre 0 e 1, o 3/2 entre 1 e 2 e assim por diante. E o 1/3? Este também fica entre o 0 e o 1, mas mais perto do primeiro do que do segundo. Mais precisamente, a distância de 1/3 a 0 é metade da distância a 1. E com o 2/3 acontece o contrário: a distância a 1 é metade da distância a 0.
Quando tivermos acabado de colocar todos os racionais, não sobra mais nenhum espaço: vemos uma recta sem buracos.
E os irracionais? Também se encaixam lá, pois não se vêem buracos a olho nu, mas a recta não está de facto totalmente preenchida. Assim, podemos acrescentar a raiz quadrada de 2, π e assim por diante. Depois disso, a recta fica cheia.
E como é que este tipo de números se relacionam dentro da recta numérica? Acontece que ambos estão por toda a parte. Ou seja: entre quaisquer dois números reais há algum número racional e há algum número irracional. De facto, há aqui uma simetria curiosa: entre quaisquer dois números racionais há algum número irracional e vice-versa.
Infelizmente, como acontece frequentemente, esta expressão simples é por vezes mal interpretada. É que pode parecer que, de algum modo, se está a dizer que os racionais e os irracionais alternam, tal como os inteiros pares alternam com os ímpares. Nada disso! Há muitos mais irracionais do que racionais. E há uma maneira muito simples de uma pessoa se convencer disso, que tem a ver com a expansão decimal de cada número. É que os números racionais são aqueles cuja expansão decimal acaba por ser periódica a partir de certa altura. Assim, por exemplo, 3/28=0,10714285714285714285… Como se pode ver, a partir da terceira casa decimal após a vírgula, temos sempre a sequência de algarismos 714285.
E, sim, continua sempre assim até ao infinito.
Agora imagine o probabilidade de isto acontecer num número escolhido o acaso. É irrisória, não é verdade? Isto ajuda a compreender porque é que os racionais são muito menos do que os irracionais.