(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Fracções Egípcias
Eixos de Opinião de julho de 2018
Título: Fracções egípcias
Os antigos egípcios tinham uma maneira de representar fracções muito distinta da actual e que consistia em representar cada fracção a/b, com a e b naturais, como soma de fracções unitárias, ou seja, fracções do tipo 1/n, com n natural. Com uma excepção: tinham um símbolo próprio para representar 2/3. Aliás, estavam tão habituados a trabalhar com a fracção 2/3 que, muitas vezes, para calcular um terço de um número, o que faziam era consultar uma tabela de produtos de números por 2/3 e depois dividir o resultado por 2!
Mas o que interessa aqui é a representação de cada fracção própria como soma de fracções unitárias. É sempre possível exprimir cada fracção própria dessa maneira? Sim, claro. Por exemplo,
5/17 = 1/17 + 1/17 + 1/17 + 1/17 + 1/17.
Mas será sempre possível representar uma tal fracção como soma de fracções unitárias distintas? Sim, é possível. Por exemplo,
5/17 = 1/4 + 1/23 + 1/1564 = 1/6 + 1/8 + 1/408.
Vejamos como é que se pode fazer para obter este tipo de expressões. Para tal, pode-se usar o chamado algoritmo ganancioso, que consiste em subtrair à fracção original a maior fracção unitária menor ou igual a ela. No exemplo anterior, como 20 é o menor múltiplo de 5 maior ou igual a 17, 5/20 é uma fracção unitária e tem-se 5/17 < 5/20 = 1/4. Então subtrai-se este último número a 5/17, obtendo-se 5/17 – 1/4 = 3/68. Depois, recomeça-se o processo. E uma coisa é certa: este processo tem que terminar ao fim de um número finito de passos, pois pode-se provar que cada novo número que vai aparecendo tem numerador menor que o do anterior. Assim, se o numerador do número de que se parte for n, ao fim de, no máximo, n passos, chega-se a uma fracção unitária e o processo termina.
Sendo assim, temos um algoritmo para exprimir qualquer fracção própria como soma de fracções unitárias distintas (sim, este método impede repetições). É fácil de perceber como funciona e de implementar num computador, se se quiser. No entanto… nem sempre dá o melhor resultado possível. Vejamos um exemplo famoso. O que é que acontece se aplicarmos este processo a 5/121? Obtemos isto:
1/25 + 1/757 + 1/763.309 + 1/873.960.180.913 + 1/1.527.612.795.642.093.418.846.225.
Mas existe uma alternativa muito mais simpática:
5/121 = 1/33 + 1/121 + 1/363.
Isto é um exemplo de como conhecer-se um método para obter uma solução de um problema não é motivo para que não se procurem soluções melhores.
Convém mencionar que este método egípcio de representar fracções leva a consequências práticas interessantes. Por exemplo, há um problema do antigo Egipto, com quase 4.000 anos, que consiste em saber como é que se faz para dividir 6 pães por 10 pessoas. Hoje em dia dir-se-ia que cada pessoa recebe 6/10 de pão ou, se não se for preguiçoso, 3/5 de pão. Na prática, isto levaria a que fosse preciso partir cada pão em cinco bocados iguais e dar três pedaços a cada pessoa. Mas a resposta egípcia é 1/2 + 1/10, o que é mais prático, pois leva à seguinte solução: cinco dos seis pães são partidos a meio e cada pessoa recebe uma dessa metades. Em seguida, o sexto pão é partido em 10 bocados e cada pessoa recebe um desses bocados.
Por estranho que pareça, há problemas por resolver sobre este tipo de fracções e outros só foram resolvidos recentemente. Vamos ver um exemplo de cada tipo.
Só no ano 2000 é que foi provada uma conjectura com algumas décadas, segundo a qual se n for um número natural maior do que 1 que não seja múltiplo de 3, então 3/n pode ser escrito sob a forma 1/a + 1/b + 1/c, onde a, b e c são números naturais distintos ímpares.
Finalmente temos a conjectura de Erdös-Strauss: se n for um número natural maior do que 1, então 4/n pode ser escrito sob a forma 1/a + 1/b + 1/c, onde a, b e c são números naturais. Foi formulada em 1948 e ainda ninguém a demonstrou nem forneceu um contra-exemplo. E, caso o leitor ache que seria uma boa ideia recorrer a um computador para tentar encontrar um tal contra-exemplo, convém que saiba que isso já foi tentado e que não se encontrou nenhum abaixo de 1017.