U(Ma) Temática Elementar por José Carlos Santos - O Teorema de Morley
Eixos de Opinião de Julho de 2019
José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP (Ver +)
Título: O Teorema de Morley
A Geometria de Euclides é dos mais antigos ramos da Matemática. Afinal, Euclides redigiu os Elementos há mais de 2300 anos. Será possível que um teorema relativo àquela Geometria seja fácil de perceber, surpreendente e tenha sido descoberto num período historicamente recente? Existe, com efeito, um tal teorema: o teorema de Morley.
Frank Morley (1860–1937) foi um matemático de origem britânica que fez a sua carreira nos Estados Unidos. Em 1900, publicou um artigo sobre Geometria, o qual continha um teorema do qual um caso particular é o teorema que dá o título a este texto.
Trata-se de um teorema sobre triângulos. Considere-se um triângulo qualquer (veja-se a figura abaixo) e, a partir de cada um dos seus vértices, tracemos duas semi-rectas (a tracejado na figura) que dividam o ângulo interno correspondente em três ângulos iguais. Em seguida, para cada um dos lados do triângulo consideramos, das quatro semi-rectas que partem das suas extremidades, as duas que lhe estão mais próximas, e traçamos o seu ponto de intersecção. Obtemos assim três pontos. Tracemos o triângulo do qual os ditos pontos são os vértices. Pois bem: este triângulo é sempre equilátero, independentemente da forma do triângulo original!
Este resultado é bastante surpreendente e estimulou um elevado número de matemáticos. E é um desafio encontrar uma demonstração do teorema. Aliás, surgiu como um desafio aos leitores em 1908 em duas revistas: Educational Times (Londres) e Mathesis (Bruxelas). Curiosamente, isto teve lugar sem que o nome de Frank Morley aí surgisse. Com efeito, no início do século XX, o teorema foi mais conhecido do que o seu criador.
Isto é um bom exemplo de como até um ramo da Matemática tão antigo como a Geometria Euclidiana é inesgotável.