(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos

O texto do mês passado terminou com esta questão: há ou não poliedros regulares que não sejam convexos? A resposta é afirmativa. Acontece que estes poliedros são bastante menos conhecidos do que os cinco poliedros regulares convexos. Vejamos um deles, o pequeno dodecaedro estrelado:

Este poliedro tem doze vértices (representados por esferas douradas na figura) e as faces são pentagramas, ou seja, figuras da forma:

A primeira pessoa a aperceber-se de que o pequeno dodecaedro estrelado é um poliedro regular foi Kepler, em 1619, que fez a mesma observação relativamente a outro poliedro não convexo, o grande dodecaedro estrelado:

Tal como o poliedro anterior, as faces deste poliedro são pentagramas.
Durante muitas décadas, o estado das coisas não se alterou: conheciam-se os cinco poliedros regulares convexos e os dois poliedros regulares não convexos acima descritos. Foi somente quase dois séculos após Kepler ter descrito o pequeno e o grande dodecaedro estrelados que um matemático francês, Louis Poinsot, os redescobriu e apercebeu-se da existência de mais dois poliedros regulares não convexos. Um deles, é o grande dodecaedro:

Este poliedro tem faces pentagonais. O outro poliedro regular não convexo descoberto por Poinsot foi o grande icosaedro:

As faces deste poliedro regular são triângulos.

Mas haveria mais? Desta vez, a resposta não se fez esperar muito. Em 1813, apenas três anos após Poinsot ter introduzido o grande dodecaedro e o grande icosaedro, Cauchy provou que não há outros poliedros regulares não convexos além dos que foram descobertos por Kepler e por Poinsot.
Todas as imagens de sólidos de Kepler e de Poinsot que surgem neste texto foram feitas por Robert Webb, usando o seu software Stella.