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Ah, os problemas!
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público |
Qual é o maior número que se pode escrever usando única e exclusivamente quatro vezes o algarismo 2?
Note-se que não se pode usar mais nada, nem símbolos, nem sinais. Nada!
Quando coloco este problema aos amigos e aos alunos, há um primeiro momento de perplexidade mas logo se lembram das potências, a única operação que não usa qualquer símbolo.
Segue-se depois a fase de procura e tenho reparado que é mesmo muito raro alguém seguir um método sistemático de pesquisa. Isso tem como consequência que pouca gente acerta à primeira na resposta correta. E, no entanto, o problema está longe de ser difícil.
Façamos então uma investigação sistemática.
Potências de nível 0 (sem expoente)
A) 2222 (um número de 4 algarismos)
Potências de nível 1
B) 2222=49284 (um número de 5 algarismos)
C) 2222 ≈3,414×1029 (um número de 30 algarismos)
D) 2222 ≈3,414×1066 (um número de 67 algarismos)
Isto está a crescer. Continuemos.
Potências de nível 2
E) 222^2 = 224 = 234256 (um número de 6 algarismos)
F) 222^2=2484
G) 22^22=24194304
Potências de nível 3
H) 22^(2^2) =216=65536 (um número de 5 algarismos)
Os números F e G já não se conseguem obter com calculadoras normais mas uma TI-Nspire dá-nos o valor exato de F. É um número de 146 algarismos: 499479768…642816.
G = 22^22=24194304 é um número enorme, incalculável por métodos “normais”. Mas podemos determinar quantos algarismo tem, calculando o seu logaritmo em base 10:
log 22^22 = log 4194304 = 4194304× log 2 ≈ 1262611,31
Este número enorme, construído apenas com quatro algarismos “2”, tem 1 262 612 algarismos. Se o quiséssemos imprimir em páginas de 30 linhas com 100 carateres por linha, precisaríamos de 4209 páginas. Nada mau, quando pensamos que a sua versão sintética usa apenas quatro algarismos.
Artigo de Opinião
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