100 Problemas com José Paulo Viana

As afirmações auto referentes, isto é, que fazem referência ao seu próprio conteúdo, podem dar origem a situações paradoxais e têm intrigado a humanidade pelo menos desde a antiguidade clássica.

Um dos exemplos mais famosos é o da afirmação feita por Epiménides, um filósofo e poeta grego da ilha de Creta que viveu há 2500 anos. Afirmou ele: “Todos os cretenses são mentirosos”.

A frase é verdadeira ou é falsa? Ou é as duas coisas? Ou será “impossível”?

Se a frase for verdadeira, não há dúvida: todos os cretenses são mentirosos, logo ele também é portanto não pode estar a dizer uma verdade. Contradição.

E se a frase for falsa? Se é falsa, Epiménides está a mentir e portanto os cretenses falam verdade. Mas se falam verdade, Epiménides, que é cretense, já não pode estar a mentir. Nova contradição? Não! Se a frase é falsa, é mentira que “todos os cretenses são mentirosos”. Ora o contrário de “todos mentirosos” não é “todos verdadeiros”. Para que a frase “todos os cretenses são mentirosos” seja falsa basta que nem todos mintam. Ou seja, o contrário de “todos os cretenses são mentirosos” é “existe pelo menos um cretense que fala verdade”. Então, não há qualquer contradição na frase de Epiménides. Ficamos a saber que alguns cretenses são verdadeiros, que outros são mentirosos e que Epiménides é um mentiroso.

Este tipo de situações auto referentes dá origem a alguns problemas interessante e que exercem uma atração especial em certas pessoas (o autor incluído). 

Vejamos o exemplo deste cartão.

Contamos os algarismos e vemos que há 12 entre zero e quatro e 4 entre cinco e nove. Mas ao escrever “12” e “4” nos espaços, alteramos o número de algarismos (passam a ser 19 em vez dos 16 iniciais) e as frases ficam falsas. Temos de, por tentativas, reiniciar as contagens, tendo em conta o que escrevermos nos espaços. Penso que os leitores não terão dificuldade em chegar à solução.

O matemático norte-americano Robinson descobriu um algoritmo que permite encontrar uma solução neste tipo de problemas auto refrentes, caso eles sejam possíveis. O método é muito simples. Parte-se do que já está escrito e vão fazendo-se aproximações sucessivas até o processo estabilizar. Apliquemo-lo ao problema anterior.

A situação inicial é escrever 12 e 4.

No passo seguinte, atualizamos os valores, entrando em linha de conta com estes três novos algarismos. Obtemos 15 e 4.

Atualizando de novo, ficará 14 e 5.