100 Problemas com José Paulo Viana

Os problemas de lógica sempre me entusiasmaram, mas não é de admirar – a lógica é a base da matemática.
Um dos primeiros que conheci é um dos meus preferidos. Usei-o muitas vezes na primeira aula do ano, quando tinha uma turma nova. Era uma maneira de pôr os alunos a pensar sem que aparecesse o cálculo a atrapalhar os menos motivados. Aqui vai ele.

António: – “A Berta mente”.
Berta: – “O Carlos mente”.
Carlos: – “O António e a Berta mentem”.

Afinal, quem está a mentir?

É curioso que havia logo alguém que exclamava: Estão todos a mentir!

Eu aproveitava para lançar logo uma pergunta à turma: Será possível? E havia sempre quem chamasse a atenção para a contradição que daí decorria. Se todos mentissem, as frases dos três eram todas verdadeiras…

Três dos motivos que fazem deste problema um dos que mais gosto são: 1) ter um enunciado muito simples, 2) transformar-se num desafio para a maioria das pessoas, 3) obrigar a organizar o nosso pensamento para o resolver.

Vamos ver duas maneiras distintas de o abordar. Contudo, o meu conselho é que o leitor não avance na leitura antes de ter chegado sozinho à solução. É muito mais interessante…

1º Método
Escolher uma hipótese para uma das personagens e ver se ela se confirma. Se isso não acontecer, testar a hipótese contrária.
Por exemplo, admitamos que o António diz a verdade. Ficamos então a saber, pelo que ele diz, que a Berta mente. Se ela mente, concluímos que o Carlos fala verdade. Mas o Carlos afirma que o António mente, o que está em desacordo com a nossa hipótese inicial. Contradição.
Vamos então partir da hipótese contrária à primeira, ou seja, de que o António está a mentir. Se isso acontecer, a Berta tem de estar a falar verdade e portanto, pelo que ela diz, o Carlos tem de ser mentiroso. Ora, o Carlos ao afirmar que “O António e a Berta mentem” está realmente a mentir (só o António mente, a Berta não). Confirma-se assim esta segunda hipótese e os mentirosos são o António e o Carlos.

2º Método
Raciocinar a partir de uma ou mais das afirmações feitas pelos personagens.
Peguemos na afirmação do António. Se ele falar verdade, a Berta mente, se ele mentir, a Berta é veraz. Ou seja, estes dois não podem ser do mesmo tipo.
Logo, o Carlos, ao dizer “O António e a Berta mentem”, está a mentir. Então, a Berta tem razão quando diz que ele mente. Por outro lado, o António mente quando diz que a Berta é mentirosa. Conclusão, a única pessoa que diz a verdade é a Berta.