Se e Só Se por José Carlos Pereira - Conjecturando - Final
Eixos de Opinião de junho de 2018
Título: Conjecturando - Final
No último artigo do “Se e Só Se” escrevi sobre conjecturas e a importância que estas podem assumir no processo de ensino e aprendizagem em Matemática. Para exemplificar como as conjecturas podem ajudar na resolução de problemas matemáticos, utilizei uma proposta do Brilliant, que a seguir enuncio:
A medida do lado do quadrado é 12 e a medida da área a azul é 12. Qual é a área da região a amarelo?
A versão original pode ser consultada aqui.
Sobre este problema fiz duas conjecturas:
“A área da região a amarelo é independente da posição dos pontos que estão sobre o lado do quadrado.”
“A medida da área da região a amarelo é 48.”
A primeira conjectura surgiu naturalmente, uma vez que nada é dito nada sobre os pontos que estão sobre os lados do quadrado. A segunda foi feita depois de ter recorrido a um programa de geometria dinâmica para modelar a situação, o que me ajudou a chegar à solução.
A resolução que irei apresentar em seguida irá provar estas duas conjecturas que, consequentemente, deixarão de ser conjecturas e passarão a ser teoremas.
“A Geometria é a arte de raciocinar sobre figuras mal desenhadas” é uma citação muito conhecida do grande matemático Henri Poincaré. Quando me deparo com problema de Geometria lembro-me sempre desta citação e a primeira coisa que faço é um desenho onde assinalo tudo que o possa ser importante para a sua resolução. Depois de algumas tentativas, foi com o desenho seguinte que cheguei à solução que pretendia:
A medida da área a amarelo é dada por a1 + a2 + a3 + a4 + a5 . Na figura não se percebe bem, mas a3 é a medida da área do triângulo [FJG] e a5 é a medida da área do triângulo [IHL].
Os triângulos [AJD] e [AJL] têm a mesma área, pois partilham a mesma base e têm a mesma altura, cuja medida é 12. Assim, como A[AJD] = b1 + a2 + b2 e A[AJL] = a2 + b2 + 12 + a3 + a5 , vem que:
Mas, por um lado, a medida da área do triângulo [AMD] é 72 (12×12/2 = 72) e por outro:
Finalmente, A[AMD] = 72 ⇔ 24 + Aamarela = 72 ⇔ Aamarela = 72 – 24 = 48.
Com esta resolução provámos que as duas conjecturas enunciadas neste artigo são verdadeiras. A posição dos pontos que estão sobre os lados do quadrado não tiveram qualquer papel na resolução, pelo que área da região a amarelo é independente dessas posições e o seu valor é sempre 48.
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