Teoria de Jogos por Alda Carvalho - A igualdade em Teoria de Jogos Combinatórios
Eixos de Opinião de Junho de 2021
Alda Carvalho - Docente do Ensino Superior e Investigadora do CEMAPRE/ISEG. (Ver +)
Título: A igualdade em Teoria de Jogos Combinatórios
Neste texto voltaremos a falar de um jogo do CNJM, mencionado em Fevereiro de 2020 aqui. Comecemos por relembrar as regras do DOMINÓRIO. Trata-se de um jogo de decisão alternada jogado num tabuleiro de rectangular (geralmente 8x8) com peças de dominó (ou material que faça o mesmo efeito).
Na sua vez, cada jogador coloca uma peça de dominó sobre 2 quadrados vazios. O primeiro jogador (bLue ou verticaL) só pode colocar as suas peças na vertical e o segundo jogador (Red ou hoRizontal) só pode colocar as suas peças na horizontal. O jogo acaba quando um dos jogadores não consegue jogar e, quando isso acontece, esse jogador perde o jogo. A imagem seguinte ilustra uma sequência de um jogo num tabuleiro 4x4.
Neste jogo ganhou o primeiro jogador (bLue).
Como se pode ver no exemplo anterior, à medida que o jogo avança, tal como em muitos jogos combinatórios, o tabuleiro tende a separar se em componentes disjuntas. Informalmente, podemos dizer que, nas situações em que um jogo se decompõe, acontece o seguinte:
1. Um jogador tem de escolher uma entre duas ou mais componentes e realizar aí a sua jogada.
2. A jogada realizada deixa totalmente inalteradas todas as restantes componentes. Ou seja, as componentes não conflituam entre si de nenhuma forma; não se bloqueiam, não se capturam umas às outras, não há transferências de espécie nenhuma. Por esse motivo, chamam-se componentes disjuntas e a situação designa-se soma disjunctiva.
A soma disjunctiva, permite misturar jogos aparentemente diferentes, fazendo sentido jogá-los em simultâneo. O essencial de um jogo é o seu grafo. As regras de um jogo são um aspecto conjuntural; verdadeiramente estrutural e definidor da sua natureza é o seu grafo.
Partindo da posição de DOMINÓRIO 
, na imagem seguinte podemos ver o respectivo grafo (os pontos representam posições terminais, não existem jogadas para nenhum dos jogadores; algumas opções são eliminadas por simetria).
Será que podemos dizer que dois jogos são iguais se tiverem o mesmo grafo?
Não, uma vez que o que interessa é a prática de jogo, faz mais sentido afirmar que dois jogos são iguais se originarem exactamente o mesmo resultado em qualquer soma disjunctiva (comportam se da mesma forma em qualquer «ambiente»). Quando se pretende compreender um jogo, não basta analisar esse jogo de forma individual, é preciso perceber como se comporta «em grupo».
Consideremos as seguintes posições de DOMINÓRIO e respectivos grafos (fica como exercício esta parte).
Numa soma disjunctiva de jogos, a presença do jogo da esquerda não tem influência no resultado. Sempre que um jogador optar por jogar nesta componente, o outro jogador, se quiser, pode acabar com essa componente, devolvendo novamente o turno ao seu oponente. O mesmo se pode dizer do jogo à direita. Embora os dois grafos sejam diferentes, desenrolam exactamente o mesmo papel em termos de resultado, em todas as circunstâncias. Um dos objectivos da Teoria de Jogos Combinatórios consiste em quantificar esse papel (permitindo comparações), analisar algebricamente a soma disjunctiva, efectuar reduções nas árvores dos jogos, tornando-as mais simples.
Para terminar fica como exercício analisar as seguintes posições.
Será que algum dos jogadores (verticaL, hoRizontal) prefere alguma destas componentes?