Teoria de Jogos por Alda Carvalho - O PRODUTO e a temática das áreas e perímetros de figuras planas no 1.º ciclo

Eixos de Opinião de Março de 2021

Alda Carvalho - Docente do Ensino Superior e Investigadora do CEMAPRE/ISEG. (Ver +)


Título: O PRODUTO e a temática das áreas e perímetros de figuras planas no 1.º ciclo

Desde a 9.ª edição do CNJM (2013) que milhares de alunos jogam o PRODUTO (versão 5x5). Trata se de um jogo inventado em 2006 por Nick Bentley, com adaptações de Bill Taylor e João Pedro Neto (uma das pessoas envolvidas na organização do CNJM). No texto anterior, foram apresentadas as regras e exemplificados alguns conceitos elementares relacionados com a multiplicação que podem ajudar a jogar melhor este jogo. Neste texto, continuaremos a falar deste jogo, mostrando a sua ligação à temática do 1.º ciclo, áreas e perímetros de figuras planas. 

Em Saber e Ensinar Matemática Elementar (Gradiva, 2009), Liping Ma compara, através de entrevistas, os desempenhos de professores de matemática elementar chineses e norte americanos. O estudo baseia-se em perguntas simples. Uma delas é a seguinte:

«Imagine que uma das suas alunas chega à aula muito entusiasmada. Ela diz-lhe que descobriu uma teoria que você nunca havia ensinado à turma. Explica ter descoberto que, à medida que o perímetro de uma figura fechada aumenta, a área também aumenta. Mostra-lhe a figura seguinte para provar o que está a dizer:

Como responderia a esta aluna?»

Segundo Liping Ma, para a maioria dos professores do estudo, a “teoria da aluna era uma nova teoria de que ouviam falar pela primeira vez”. Percentagens similares de professores chineses e norte-americanos aceitaram a teoria imediatamente. 

No entanto, a teoria é falsa! Considere-se um retângulo com 1000 cm de base e 0,001 cm de altura. Este estreitíssimo retângulo tem apenas 1 cm2 de área, embora tenha 2000,002 cm de perímetro. Na realidade, um retângulo com um perímetro arbitrariamente grande pode ter, ao mesmo tempo, uma área arbitrariamente pequena. A relação entre a área e o perímetro de uma figura plana não é tão direta como pensava a aluna do estudo de Liping Ma. A figura seguinte mostra um exercício, retirado de Viva a Matemática!, 3.º Ano, Volume 2 (Principia, 2018), que refuta claramente a “teoria” da aluna do estudo de Liping Ma. Uma vez que as figuras planas foram bem escolhidas, professores e alunos têm uma oportunidade de explorar este assunto.

                         

A principal ideia a retirar do preenchimento da tabela é a seguinte: A área e o perímetro de uma figura plana não se relacionam de forma direta. Por exemplo, o polígono B tem menos área do que o polígono A, mas o seu perímetro é superior. A área do polígono E excede a área do polígono C em 3 unidades, mas, mesmo assim, o perímetro do polígono E é 2 unidades menor do que o perímetro do polígono C.

Em Maths-No Problem!4B (Singapore Maths, 2014 English National Curriculum, 2015), há um exercício cuja resolução parcial se pode ver (a verde) na figura seguinte. A pergunta é muito interessante e deve ser objeto de análise. Dois casos extremos estão desenhados na grelha. O quadrado 4x4 é, dos retângulos com 16 unidades quadradas de área, aquele que tem menor perímetro. O retângulo 1x16 tem um perímetro bem maior. Por que é que isso acontece?

Embora a escolha da didática mais apropriada para ensinar diferentes tópicos seja um assunto apaixonante, neste texto pretende-se mostrar a ligação deste assunto ao jogo do PRODUTO. Uma discussão mais detalhada sobre a didática relativa a esta temática no primeiro ciclo pode ser vista neste link

É sabido que, de todas as figuras planas isoperimétricas (figuras com o mesmo perímetro), a que maximiza a área é o círculo. Não querendo utilizar a ideia de contribuição (apresentada neste link), há também um interessante argumento algébrico relacionado com o PRODUTO. Considere se um retângulo 3x7 (3 linhas de 7 quadrados). Esse retângulo tem 20 unidades de perímetro e 21 unidades de área. Supondo que se pode mudar o retângulo acrescentando uma linha ou uma coluna (mudando para 4x7 ou para 3x8), qual deve ser a opção de forma a se obter o  valor mais elevado para a área? Repare-se que, quanto ao perímetro, tanto o retângulo 4x7 como o retângulo 3x8 passam a ter 22 unidades de perímetro. Mas, quanto à área, em qual deles se observa um maior acréscimo?

Deve acrescentar-se uma linha de 7 quadrados. É fácil entender essa opção: se se acrescentasse uma coluna, essa coluna teria apenas 3 quadrados unitários. Sendo assim, deve preferir-se o retângulo 4x7 e não o retângulo 3x8. Este argumento baseia-se apenas na multiplicação no sentido aditivo. Deve querer-se dois fatores próximos em grandeza (retângulo próximo do quadrado) e não dois fatores distantes em grandeza (“retângulos estreitos”). Portanto, quanto mais “circular” for a figura tendencialmente maior será a sua área. Este fenómeno foi precisamente o que vimos no texto anterior Onde é mais importante jogar no PRODUTO?. Também nesta temática, o jogo do produto pode ser um bom complemento. 

Em vez de um desafio, terminamos com uma lenda. Segundo a mitologia romana, a princesa Dido, filha de um rei fenício, tendo a vida ameaçada, fugiu para o norte da África. Prometeram lhe a extensão de terra que pudesse cercar com o couro de um boi. Sabendo isso, com o couro, ela preparou um longo e fino fio, estendendo-o em forma de semicírculo, de modo a aproveitar a proximidade da costa. Dessa forma, obteve a maior área possível. E nasceu a cidade de Cartago. Em Ciência a brincar 5: descobre a matemática! (Bizâncio, Sociedade Portuguesa de Matemática, 2006), é possível encontrar uma interessante proposta de atividade para crianças.

 

 

Publicado/editado: 05/03/2021