Problema 4
O SENHOR SILVA É LANÇADOR DE DISCO
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É um pouco mágico também.
Tem uma filha jovem chamada Telma, que gosta de imitá-lo, mas que só aguenta um disco com metade do diâmetro.
Como não há discos destes no mercado resolveu converter o seu disco num com metade do diâmetro da forma seguinte:
1. Imaginou o disco como um conjunto de pontos de R^2;
2. Partiu o disco aos bocados (criou uma partição);
3. Sobre cada bocado efectuou apenas rotações e translações (não queria deformar os bocados);
4. Conseguiu deste modo montar um disco mais pequeno para a filha e ainda outro igual ao seu.
Como terá procedido é o desafio para as próximas semanas.
Hoje deixamos um problema, fácil de resolver, primeiro de uma sequência que vai permitir ao Senhor Silva, em breve, duplicar o disco.
Na segunda fase irá tentar reduzir a metade o diâmetro de um dos duplicados. Com êxito, espera-se.
Problema 1:
i) Tente mostrar que sendo P um ponto da circunferência periférica do disco, que suporemos de raio 1, todos os pontos que se obtêm fazendo P “andar” de um arco de comprimento q racional, no sentido dos ponteiros do relógio se q positivo e contrário se q negativo, são distintos.
Vamos chamar [P] a esse conjunto de pontos.
ii) Mostre agora que se P e P’ são pontos distintos da circunferência então:
[P] = [P’] V [P] ⋂ [P’] = Ø
No próximo mês continuaremos a caminhada em direcção à duplicação do disco, primeira etapa para conseguir um disco para a Telma.
NOTA – Para resolver este problema precisa de saber que:
Pi é irracional;
A soma e produto de racionais é racional.
A resposta a este problema será dada no dia 28. Até lá, muito raciocínio.
Conhecimentos sobre cardinalidade necessários para a resolução deste Problema: