Se e Só Se por José Carlos Pereira - Um Problema Olímpico
Eixos de Opinião de Junho de 2021
José Carlos Pereira - Professor de Matemática. Autor de Livros Escolares. Responsável pelo Site Recursos para Matemática e Autor do Canal no Youtube – MathSuccess Fátima (Ler +)
Título: Um Problema Olímpico
As Olimpíadas Portuguesas de Matemática (OPM) são organizadas pela Sociedade Portuguesa de Matemática e juntam alunos de todas as idades numa competição cujo objectivo é resolver, num determinado espaço de tempo, um conjunto de problemas matemáticos.
Não estou muito atento a esta competição, mas de vez em quando tento resolver alguns dos problemas que são propostos. Nem sempre consigo. Se o leitor tiver curiosidade, pode encontrar muitos aqui.
Quem costuma ler os meus textos neste espaço sabe que gosto muito de problemas geométricos, em particular os que envolvem áreas. Já aqui partilhei vários. O problema seguinte é desse tipo e foi proposto numa das provas das OPM destinada a alunos que estão a frequentar os 7.º ou 8.º anos:
“O rectângulo [ABCD] tem área 60 cm2. A área do triângulo [ABE] é um quinto da área do rectângulo [ABCD] e a área do triângulo [EFC] é um oitavo da área do rectângulo [ABCD]. Qual é a área do triângulo sombreado?”
A primeira coisa que reparei é que nada é dito sobre as dimensões do rectângulo, o que me levou logo a pensar que a área da região a sombreado não depende dessas dimensões, isto é, que a área a sombreado é sempre a mesma, desde que as condições do enunciado se mantenham. É um raciocínio parecido com o que fiz no problema deste artigo, cuja segunda parte podem ler aqui. Assim sendo, as suas dimensões poderiam ser 10 cm por 6 cm, ou 12 cm por 5 cm ou quaisquer outras que resultassem num rectângulo de área 60 cm2.
Escolhi então resolver o problema assumindo que a medida do lado [AB] é 12 cm e que a medida do lado [BC] é 5 cm e recorri a um programa de geometria para chegar ao resultado pedido, 23 cm2:
Para este caso particular, ainda fiz a resolução à mão. Não que não confie na tecnologia, é apenas uma espécie de defeito de profissão. Deixo-vos essa resolução:
Parti então para a resolução do caso geral. Fiz duas resoluções distintas que para já não divulgarei aqui. Deixo para o leitor o prazer de as tentar descobrir.
Não se esqueça do problema do mês passado, do segundo problema do artigo de Março e dos problemas do artigo de Outubro. Voltarei a um deles no próximo mês.
Boas resoluções e divirta-se!