(Di) Visões por Miguel Abreu

Como escrevi no (Di)Visões de Junho, antes do passado dia 13 de Maio não se sabia responder à seguinte pergunta: será que existe algum número natural N finito, mesmo que muito grande, tal que existem infinitos pares de números primos (p,q) com p<q e q-p ≤ N ? Nesse dia o matemático Yitang "Tom" Zhang, da Universidade de New Hampshire (EUA), deu uma palestra na Universidade de Harvard onde anunciou que a resposta é SIM, provando que um N à volta de 70 milhões funciona. A Conjetura dos Primos Gémeos diz que N=2 também funciona, ou seja, que existem infinitos pares de números primos que diferem por apenas dois entre si (como (3,5), (17,19) e (41, 43)). O trabalho de Zhang ainda ficou longe de provar esta conjetura, mas passámos de estar infinitamente longe para estar apenas finitamente (70 milhões) longe.

Há menos de duas semanas, o jovem matemático James Maynard, da Universidade de Montreal, publicou no arXiv um artigo onde, entre outras coisas, prova que N=600 funciona. Nos cerca de 6 meses que decorreram entre a palestra de Zhang e o artigo de Maynard houve vários desenvolvimentos que vou aqui descrever muito resumidamente, com base num excelente e muito informativo artigo de Erica Klarreich publicado na revista Quanta Magazine.

O resultado inesperado e obtido de forma isolada por Zhang despoletou o interesse de muitos matemáticos que começaram logo a trabalhar no sentido de baixar o valor de N. No dia 4 de Junho, quando esse valor já tinha baixado para cerca de 5 milhões, o matemático Terence Tao da Universidade da California, Los Angeles, recipiente da Medalha Fields em 2006, criou no blog Polymath um projeto com o objetivo de reduzir ainda mais o valor de N. Ficou designado por Polymath8 por ser o oitavo projeto do blog Polymath, criado em 2009 por Tim Gowers da Universidade de Cambridge, recipiente da Medalha Fields em 1998, com o intuito de tentar tornar possível colaborações massivas entre matemáticos para resolver problemas importantes e ainda em aberto. O Polymath8 atraiu dezenas de matemáticos que em menos de 2 meses conseguiram em conjunto reduzir o valor de N para 4680.

Entretanto Maynard estava, como Zhang, a trabalhar sozinho, tentando uma abordagem um pouco diferente. O trabalho de Zhang tem por base um artigo de 2005 conhecido por GPY, as iniciais dos seus autores Goldston, Pintz e Yildirim. Dois anos antes, Goldston e Yildirim tinham circulado um outro artigo, sobre o mesmo tema, onde foi detectado um erro. GPY resultou da correção desse erro e o artigo inicial acabou por ficar esquecido. Há cerca de um ano, logo após terminar o seu doutoramento, Maynard resolveu analisar de novo o erro no artigo original e acabou por encontrar uma nova, mais simples e melhor forma de o corrigir, conseguindo com isso reduzir o valor de N para 600.

Já está em curso um novo projeto no blog Polymath com o objectivo de explorar em detalhe o artigo de Maynard, procurando maneiras de reduzir N ainda mais. 

É possível que isso venha a acontecer já nos próximos tempos e Maynard, que tenciona participar no projeto, admite ser possível chegar a N=6. No entanto, ele não acredita que se consiga chegar ao N=2 só com estas ideias. Nas suas palavras, "sinto que ainda vamos precisar de um salto conceptual significativo para lidar com o caso dos Primos Gémeos".