Entre Parênteses () por António Machiavelo

Artigo de Julho                      

Título: Recordes Primos

Apesar de se saber que o conjunto dos números primos é infinito (ver o artigo de Abril), não há nenhuma fórmula eficaz para os gerar. Não há mesmo nenhuma fórmula que facilmente gere números primos arbitrariamente grandes. Pierre de Fermat pensou ter descoberto uma, conjecturando, e lá tinha as suas razões, que todos os números da forma 2^(2^n)+1 eram primos. Mas enganou-se. Acontece aos melhores, como aliás este exemplo mostra, e o número 2^(2^5)+1, agora conhecido pelo cognome de "o Fermat 5" é composto, sendo igual a 641 x 6700417. 

Mesmo para valores de n relativamente modestos, o número 2^(2^n)+1 é já de um tamanho respeitável. Por exemplo: 2^(2^7)+1 = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 457, enquanto que 2^(2^14)+1 tem já 4933 algarismos! 

Hoje sabe-se que os números de Fermat para n = 6, 7, 8, etc., até n = 32, são todos compostos. A natureza do Fermat 33 (um enorme gigante!) é desconhecida. O leitor interessado em saber as últimas novidades sobres estes números poderá consultar a página: Fermat factoring status.

Não havendo então nenhuma fórmula para rapidamente gerar números primos, a caça ao maior número primo é um desporto praticado por alguns aficionados destas lidas. Quando estas linhas foram escritas, o maior número primo conhecido era:  

Este é um número histórico. Encontrado em Agosto de 2008, foi o primeiro número primo que se descobriu com mais de dez milhões de algarismos (tem exactamente  12,978,189). E, curiosamente, havia um prémio para esse feito... de, nada menos, nada mais, do que $100 000! Foi descoberto pelo projecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) e o prémio foi concedido pela Electronic Frontier Foundation, que concede ainda um prémio de $150 000 para a descoberta de um primo com mais de cem milhões de algarismos, e um prémio de $250 000 por um primo que ultrapasse os mil milhões de algarismos!

Deixo ao leitor a tarefa de perceber a utilidade destes esforços hercúleos, e descobrir porque razão se oferecem prémios tão chorudos por um trabalho aparentemente tão inútil. Observo apenas que, a mim, me parece bem mais nobre e útil caçar números primos do que animais indefesos com armas estupidamente potentes... E ao leitor?